Упражнения для мозгов – занимательный мир головоломок
В этом выпуске мы рассмотрим более подробно следующий класс – не распадающиеся головоломки

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ МОЗГОВ – занимательный мир головоломок

Продолжаем обзор механических головоломок. В этом выпуске мы рассмотрим более подробно следующий класс – не распадающиеся головоломки

Основная задача в не распадающихся головоломках (Interlocking Solid Puzzles) - собрать из составных элементов объект воедино, так, чтобы он составлял цельную конструкцию. Как правило, обратная задача - разобрать объект - бывает также достаточно сложна, и в этом ещё одно отличие головоломок этого класса от головоломок на складывание.

Наиболее типичными представителями не распадающихся головоломок являются так называемые деревянные узлы. Древнее искусство изготовления деревянных узлов было хорошо известно мастерам Японии, Китая, Индии, Монголии, других стран. На Руси в старину среди северных народов были популярны «шаркунки» - игрушки-погремушки, составленные из брусочков с пазами.

В современной России из деревянных узлов наиболее известен Крест адмирала Макарова. Говорят, прославленный русский флотоводец брал с собой в морские походы эту деревянную загадку из шести брусочков и предлагал решить её тем из офицеров, кто кичился своим дворянским происхождением. От себя замечу, что тест этот, к сожалению, актуален в нашей стране и поныне.

В разных странах такие узлы имеет разные названия, их авторы, как и у большинства старинных артефактов, неизвестны.

Новая эра в разработке узлов началась в компьютерную эпоху. В 1978 г. молодой математик из штата Иллинойс, США, Уильям Катлер (Bill Cutler) составил компьютерную программу для анализа 6-брусковых узлов с квадратным сечением. С её помощью Билл, в частности, определил, что существует 369 различных конфигураций брусков, а узел из 6 элементов можно сложить 119 979 способами, при условии, что внутри узла не допускаются пустоты.

Если же допустить наличие пустот внутри узла (а именно такие головоломки являются более сложными), то количество собираемых вариантов узлов из 6 элементов возрастёт настолько, что полный перебор вариантов становится нереальным даже для современного компьютера. В узлах с пустотами для разборки необходимо последовательно передвинуть несколько брусков, прежде чем какой-либо удастся отделить.

Мерой сложности подобных суперузлов (так их называет в своих исследованиях Анатолий Калинин) является количество движений отдельных брусков, которые необходимо сделать до того, как первый элемент будет отделён от сборки. Среди любителей головоломок популярны суперузлы швейцарца Филиппа Дюбуа, болгарского математика Димитра Вакарелова и, конечно, Билла Катлера.

Билл Катлер у нас в стране стал широко известен после публикации в журнале «Наука и жизнь» (№3, 1988) статьи «Колючка Билла и семикуб Ивана Максимовича». Билл Катлер, в то время профессиональный программист, задался целью сконструировать такую головоломку (деревянный узел) из шести брусков (типа «Креста адмирала Макарова»), которая была бы самой трудной для сборки и разборки. Задачу ему удалось осуществить с помощью компьютерной программы перебора конфигураций, годных не только для взаимного сочленения брусков, но и для операций сборки-разборки. В отличие от «Креста адмирала Макарова», в котором замыкающий брусок выталкивается с первого раза, в «Колючке Билла» надо совершить четыре целенаправленных перемещения и только после этого первый брусок может быть отсоединён.

После публикации этой статьи в редакцию журнала «Наука и жизнь» пришла лавина писем (они хранятся там и поныне) от читателей из разных концов России, в которых наши мастера предлагали свои варианты деревянных узлов, зачастую более сложные чем «Колючка Билла». (Разумеется, это не умаляет заслуги Билла Катлера - ведь он был первым, кто поставил такую задачу).

Так, С. Епифанов из г. Красноярска предложил свою конструкцию «Ёжа» из 6 брусочков.

Очень сложный в сборке узел из 12 элементов придумал И.М. Мерзляков, г. Пермь. Иван Максимович назвал свою головоломку «Семикуб» (наверное, потому, что по форме собранный узел выглядит как симметричное тело, составленное из 7 кубиков).

Необычно, как тройная головоломка, выглядит узел из 15 брусочков, предложенный С. Минаковым из Курска.

Изобретатель Е. Чеботарёв из Ростова-на-Дону, изготовил «Куб с секретом», состоящий из 16 частей.

Самое интересное, что большинство этих узлов были сконструированы нашими талантливыми самоучками с помощью логики и мощной интуиции - компьютер в то время к нам ещё не дошёл.

Вернёмся к наиболее типичным узлам, составленным из брусочков с квадратным сечением.

Владимир Николаевич Рыбинский, исследователь и автор множества блестящих головоломок, так описывает особенности таких узлов: «Внешняя законченность узлов сопряжена с красотой их внутреннего устройства отвечающего набору простых требований:

• размеры брусков выбираются целочисленными, исходя из их поперечного размера, который принимается за две условные единицы длины;
• пазы на брусках имеют не менее одной единицы и не выходят на торцы брусков;
• узел в сборе, как правило, не содержит внутренних пустот;
• наличие внутренних скруглений в пазах брусков допускается только в том случае, если бруски играют роль замка при сборке;
• при количестве брусков более 10 предпочтительна их максимальная простота и однотипность, при меньшем числе допустимо разумное разнообразие форм пазов».

Деревянный узел «Ёж-18» (авт. Рыбинский В.Н.). Состоит из 18 брусков. На эскизах брусков с правой стороны показаны их количества в наборе. Пазы обозначены штриховкой.

Внешне узлы в собранном виде могут не отличаться друг от друга, но иметь разные свойства, обусловленные различной внутренней структурой. Так, конструкция из девяти элементов (или «Узел-234») известна в разных вариантах – узел Владимира Рыбинского и узел болгарского математика Димитра Вакарелова.

Первый узел проще в изготовлении (и в сборке), поскольку 6 брусков (из 9 в комплекте) одинаковы. Тем не менее, из одного комплекта можно (последовательно) собрать два разных по форме узла.

В узле Вакарелова все 9 брусков различны. Более того, конструкция этих элементов такова, что даже разборка этого узла является нетривиальной: первый брусок вынимается после шести движений, второй - после следующих семи, третий – после ещё девяти перемещений брусков. Недаром исследователь головоломок А.Т. Калинин относит этот узел к «суперузлам».

Какой из этих узлов «интереснее», разумеется, дело вкуса. Мне представляются занимательными оба варианта.

Суперузел «S/M 24» Билла Катлера из 24 брусочков, 1987 г. Узел не содержит внутренних пустот, все элементы содержат пазы, первый элемент можно отсоединить после 7 движений.

Интересна головоломка О. Ямамото из Японии, основанная на использовании стереотипности мышления. Внешне в собранном виде узел Ямамото неотличим от известных классических узлов из 6 брусочков. Трудности начинаются при его разборке – опытные любители головоломок пытаются разобрать его, полагая, что он состоит, как обычно, из 6 выдвигающихся брусочков с теми или иными пазами. Оказывается, что узел собран из трёх элементов, каждый из которых склеен из четырёх кубиков, и для его разборки нужно делать совсем иные движения. Впрочем, и собрать его не так-то просто.

«Узел из трёх одинаковых элементов», (автор Осанори Ямамото, Япония, изготовление и презентация Бернард Швайцер, Германия)

Множество изящных деревянных узлов разработал всемирно известный изобретатель и производитель головоломок Вацлав Обшивач из г. Френшадт, что в Чехии.

Его узел «Прокс» состоит всего из шести одинаковых крестообразных элементов, но собрать его – непростая задача, потребуется не только ловкость рук, но и пространственное воображение.

Деревянный узел «Прокс» Вацлава Обшивача (слева) и схема сборки (справа)

Узлы Вацлава из 8 и 12 элементов

Кстати, недавно Вацлав со своей семьёй побывал в Москве. Гости остались в полном восторге от посещения Музея космонавтики и просили передать благодарность директору этого музея Юрию Михайловичу Соломко за великолепную экскурсию по истории советской и российской космонавтики. Это еще один музей в Москве, которым можно гордиться.

Многим известны шаркунки – старинные народные и игрушки северных районов Россию. Во внутренние пустоты шаркунка помещались сухие горошины и камешки, и получалась погремушка, какой она дошла до наших времён. Кстати, в «Словаре русского языка», 1984, приводится ещё одно значение слова «шаркун - пустой человек, обладающий лишь внешним лоском…». Впрочем, к нашим читателям это не имеет отношения.

Шаркунки делались из древесины, а также плелись из бересты. Это старинное искусство российских мастеров сохранилось до наших времён.

Схема типичного шаркунка, выполненная В. Рыбинским, приведена на рисунке слева. Справа – шаркунки из бересты.

Узлы: (слева) куб из 3 элементов Билла Катлера и куб из 4 элементов Рика Изона (США)

.

Во многих узлах-головоломках используются плоскиепластинчатые элементы с вырезами. Задача остаётся прежней – собрать объект воедино, так, чтобы он составлял цельную конструкцию. Так, в одной из разработок известного российского изобретателя Леонида Петровича Мочалова, автора множества великолепных головоломок, используются 18 плоских элементов, из которых собирается узел, внешне похожий на классический.

«Большой узел из плоских элементов» (авт. Л.П. Мочалов).

Изящна и сложна в решении головоломка «Решето», также основанная на плоских элементах. Автор - Том Джолли (Tom Jolly), профессиональный дизайнер и изобретатель логических игр из г. Санта Мария, Калифорния, США. Состоит этот узел всего из трёх пластинчатых элементов с вырезами. И задача формулируется просто: разобрать – собрать. Но чтобы отсоединить первый элемент от двух остальных, необходимо сделать двадцать два (!) движения элементов. Обратная задача ещё более сложна.

Этот узел называется «Lattice» (Решето), хотя похож он больше на изящную снежинку (авт. Том Джолли)

Узлы В. Красноухова. Вверху слева «Лотос» из 12 элементов; справа «Суперузел-6», Внизу варианты узла «Ден-куб» из 4 элементов

Кроме рассмотренных узлов, класс не распадающихся головоломок включает огромное количество других конструкций, составленных из иных составных элементов (кубики, шарики, брусочки сложного профиля). Собранные из таких элементов многогранники, звёздчатые тела, ажурные конструкции, пространственные модели молекул могут служить украшением современных интерьеров и открывают широкие возможности для творчества дизайнеров.

Зачастую умельцы и изобретатели демонстрируют своё мастерство изготовления узлов с использованием самых обыденных бытовых предметов спичек, гвоздей, портновских булавок и т.п.

Так, Шандор Бозоки из Венгрии собрал узел-куб, состоящий из 1080 штук английских булавок. Головоломкой в данном случае является уже сама технология изготовления такого объекта. Ведь если ухитряться ставить каждую булавку на своё место всего за 20 секунд, то на сборку только одного такого кубика потребуется 6 часов непрерывной работы.

Узел из 1080 элементов (английских булавок). Автор Шандор Бозоки, Венгрия. Даже сама технология изготовления такого объекта является головоломкой

Чешский изобретатель Вацлав Обшивач также способен собрать узел из любых подручных материалов. Возьмём, к примеру, обычный инструмент сантехника – вантуз… Шесть штук таких вантузов в руках Вацлава течение минуты превращаются в не распадающийся головоломный узел (вот уж в буквальном смысле «санузел»!)

Вацлав Обшивач демонстрирует свой «самый смешной» узел

Размеры головоломных узлов также лежат в широком диапазоне. Наши добрые знакомые австралийцы Сьюзи и Брайан Янг установили для развлечения гостей на территории своей усадьбы два десятка гигантских головоломок. Оказалось, размер в данном случае имеет значение. Так, решение головоломки «Гигантский суперузел» (см. фото) требует не только навыков коллективного мышления, но и чёткой координации физических действий.

Японские гости способны к быстрой самоорганизации. Не пройдёт и пятнадцати минут, как гигантский деревянный узел будет собран.

А вот узлы-головоломки, уменьшенные до карманных размеров, изготовленные из яркой пластмассы и снабжённые цепочками, служат брелоками для ключей (Keychain Puzzles). Брелочные головоломки появились впервые в 1939 году во время всемирного праздника в Нью-Йорке. Автор патента - американец Ирвинг Стейнхардт. С тех пор в Германии, Японии и Гонконг и других странах выпущено огромное количество разнообразных брелочных головоломок, которые в силу относительной дешевизны довольно популярны у коллекционеров.

Брелочные узлы-головоломки

В некоторых головоломках наборы элементов позволяют собирать два или несколько узлов. Такие головоломки являются фактически

игровыми конструкторами

. Так, в головоломке «Молекула» В. Красноухова (патент РФ) весьма ограниченный набор типов деталей - всего два типа. Однако этот набор позволяет создавать множество не распадающихся объектов, подобно тому, как огромное число углеводородов образуется с помощью всего двух элементов – углерода и водорода. Сравнительно просто собрать компактный узел-ромбододекаэдр, состоящий из шести элементов одного типа. Более сложные задания - сборка линейных и линейно-замкнутых объектов. Очень сложные задания – сборка трёхмерных объектов типа молекул адамантана (алмазоподобных веществ).

Конструктор-головоломка «Молекула» (авт. В. Красноухов, производство Курский завод «СчётМаш»)

В узле Ирины Новичковой использованы не брусочки, а элементы более сложной формы (см. рисунок). Из них необходимо собрать не распадающийся объект, обладающий поворотной осью симметрии 3-го порядка (то есть, при повороте вокруг этой оси на угол 120 градусов объект совмещается сам с собой). Кстати, в занимательной математике этот объект известен под названием «трилистник», отсюда и название этой головоломки.

Элементы головоломки «Трилистник» Ирины Новичковой. Внизу показаны примеры объектов с симметрией 3-го порядка.

«Мне особенно нравятся головоломки, для решения которых требуются не только знания и терпение, сколько вдохновение и озарение» - говорит Ирина, и её «Трилистник» в полной мере отвечает этому критерию.

«Загогулины» Ирины Новичковой. В центре – «Загогулина из 3 элементов» (вариант «Трилистника») в решённом виде.

И хотя эта головоломка состоит всего-то лишь из трех одинаковых элементов, решить её действительно нелегко. На 5-м Чемпионате России по пазлспорту (Москва, 2002) эта задача оказалась самой трудной из всех предложенных участникам механических головоломок.

Ещё более сложные формы использует Стюарт Коффин (Stewart Coffin) из штата Массачусетс, США. Стюарт Коффин по праву считается одним из лучших в мире дизайнеров полиэдральных головоломок - разборных многогранников. До него было известно не так уж много разборных головоломок в виде многогранников, причём составные элементы этих многогранников, в основном, располагались под прямым углом друг к другу. Коффин в своём творчестве вышел на гораздо более сложные стереометрические конструкции. Сегодня у него свыше 200 оригинальных разработок, и более серьезного эксперта в этой области, чем Коффин трудно себе представить. Некоторые из его головоломок производятся в пластмассе, но большинство выполнено из благородных сортов дерева. Трудно выделить лучшие из его разработок, на мой взгляд, наиболее удивительные из них - Peanut, Fixed Sticks, Hexagonal Prism, Augmented Second Stellation (см. фото).

Узлы Стюарта Коффина: Peanut, Fixed Sticks, Hexagonal Prism, Augmented Second Stellation

Стюарт Коффин (Stewart Coffin) и его супруга (и помощница) Мари. Слева автор этой статьи.

И ещё о разборных многогранниках, изготовленных из картона - материала, необычного для данного типа головоломок.

Елена Жукова из подмосковного города Истра, как и её отец, Владимир Павлович, являются известными, исследователями, дизайнерами и популяризаторами механических головоломок. Особое место в увлечении Елены занимает разработка и изготовление трёхмерных геометрических объектов.

Елена Жукова и её головоломки – разборные многогранники и звёздчатые тела

В собранном виде эти объекты представляют собой так называемые правильные многогранники, или «платоновы тела» - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (он же куб), додекаэдр и икосаэдр, а также многочисленные звёздчатые тела. Делает их Елена по собственным технологиям из картона, облицованного цветной бумагой. Серьёзные познания Елены в области стереометрии и теории решения изобретательских задач, а также отменный художественный вкус, позволяют ей создавать головоломки в меру сложные, наглядные и необычайно красивые.

Итак, мы рассмотрели класс «не распадающихся головоломок», или узлов. Конечно, в этом кратком обзоре невозможно отразить всё многообразие конструкций, приёмов, дизайнерских находок и решений. Но пора переходить к следующему классу.

В следующем выпуске мы рассмотрим головоломки, основанные на задачах расцепления и распутывания.

Автор статьи: к.т.н. Владимир Иванович Красноухов